爱因斯坦75论相对性原理所要求的能量的惯性
爱因斯坦第三篇论述质能方程的论文《论相对性原理所要求的能量的惯性》正文分为四部分，第一部分题为《关于一个受到外力做匀速平移的刚体的动能》，在这一部分，爱因斯坦考察了带电刚体在接受电动力前后动能的变化，指出接受电动力的刚体的动能比以同样速度运动的但不受任何力的同样物体的动能大。
首先，由静系考察，一个正在以速度υ、沿x轴坐标增加的方向做匀速平移的刚体的动能K0为公式1：
K0=μV2[1/√（1-υ2/V2）-1]
（注：狭义相对论论文《论动体的电动力学》第十部分《(缓慢加速的)电子的动力学》中推导的电子动能方程，本作《爱因斯坦48》中的方程49。）
将上述的刚体变为带电刚体，并施加电磁场力后，在时间t0到t1之间，电磁力场传递给刚体的能量变化△E为公式2：
ΔE=∫dt∫υX·ρ/（4π）dxdydz，（时间积分上下限为t1，t0）
其中，空间积分遍及整个刚体，（X，Y，Z）表示电力的矢量，ρ=?X/?x+?Y/?y+?Z/?z，表示电密度的4π倍。
由动系（注：静系和动系的划分，以及坐标符号都与论文《论动体的电动力学》相同），即与刚体相对静止的坐标系考察，根据洛伦兹变换，可得电磁力场传递给刚体的能量变化△E为公式3：
ΔE=∫∫βυX′·ρ′/（4π）dξdηdζ
其中，β为洛伦兹因子[1-（υ/V）2]-0.5。
因为从动系考察，即从一个同物体一起运动的坐标系观测，作用在物体上的力的电力X分量之和永远为零，所以∫X′·ρ′dξdηdζ=0。
根据洛伦兹时间变换公式 t=β（τ+υξ/V2），可得动系考察对应静系的t0和t1的时间极限分别为：τ=t0/β-υξ/V2和τ=t1/β-υξ/V2。
为了计算动系考察力场传递给刚体的能量变化△E公式3，爱因斯坦将时间划分为了三部分：
第一部分为 t0/β-υξ/V2和 t0/β；
第二部分为 t0/β和 t1/β，因为这一部分的时间极限同动系空间坐标ξ、η、ζ无关，所以其对应公式3的积分为0；
第三部分为 t1/β和 t1/β-υξ/V2。
由上面对时间的三段划分，公式3变为公式4：
ΔE=-∫（υ/V）2βX1′ρ′/（4π）dξdηdζ+∫（υ/V）2βX0′ρ′/（4π）dξdηdζ
其中，电力X0′和X1′分别为第一部分和第三部分时间间隔的电力X′。
设在开始时t0时刻，没有力作用在带电刚体之上，则公式4第二个积分为零，而 X1′ρ′/（4π）dξdηdζ是在空间元上的有质动力的ξ分量Kξ，由此，公式4可变为公式5：
ΔE=-（υ/V）2·[1-（υ/V）2]-0.5·∑（ξ·Kξ）
其中，累计遍及刚体的所有质量元。
在对公式5的文字说明中爱因斯坦结束了论文第一部分的阐述：
“我们因此得到如下的奇异结果。如果一个原来没有力作用于其上的刚体受到这样一些力的影响：这些力并不把加速度授予物体，那么，这些力（注：从动系考察这些力为0，但根据洛伦兹变换导出静系考察的力不为0）——从一个相对于物体运动的坐标系观测（注：静系）——对物体做一定量的功△E，它只依赖于力的最终分布和平移速度（注：从静系考察电动力对刚体做功取决于相对速度υ和电动力分布情况）。
按照能量原理，由此立即得出，受力的刚体的动能比以同样速度运动的但不受任何力的同样物体的动能大△E。
（注：意即电动力做功了，但按经典力学来说带电刚体动能没变，因为速度υ没变；但根据能量守恒，动能应该增大了，因为电动力做功了，意即带电刚体的惯性质量m增加了，虽然速度υ没变，但动能增加了。）”
论文第一部分从电动力做功的角度考察论证了经典物理学中惯性质量永恒不变是不正确的，随着电动力对带电刚体做功，其惯性质量必然而增加了。
第二部分题为《关于一个带电刚体的惯性》，在这一部分，爱因斯坦考察了带电刚体静电能对带电刚体惯性质量的影响，得出了带电刚体动能的表达式，并将其与不带电刚体的动能表达式做对比，指出带静电的物体的惯性质量比不带电的物体的惯性质量要大，超过的量等于静电能除以光速的平方。
首先，由静系考察，一个正在以速度υ、沿x轴坐标增加的方向做匀速平移的带电刚体由于自身运动而产生的电磁能为公式6：
Ee=[∫（X2+Y2+Z2+L2+M2+N2）dxdydz]/（8π）
由动系考察上述电磁能为公式7：
Ee=[1/（8π）]·∫（1/β）·{X′2+[1+（υ/V）2]/[1-（υ/V）2]·（Y′2+Z′2）}dξdηdζ
考虑到带电刚体受到电量间相互作用产生的力的影响，则其总动能为公式8：
K=K0+ΔE+（Ee-Es）
其中，Es为带电刚体在静止状态时的静电能（注：即为公式7），K0为刚体没有电荷时的动能，△E为带电刚体受到电量间相互作用产生的能量变化。
带电刚体受到电量间相互作用产生的能量变化△E为公式9：
ΔE=-（υ/V）2·β/（4π）∫ξX′（?X′/?ξ+?Y′/?η+?Z′/?z）dξdηdζ=（υ/V）2·β/（8π）∫（X′2-Y′2-Z′2）dξdηdζ
将K0的公式1、Ee的公式6、Es的公式7以及△E为公式9代入公式8，可得带电刚体动能的表达式公式10：
K=（μ+Es/V2）·V2[1/√（1-υ2/V2）-1]
而刚体的动能K0公式1：
K0=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）-1]
对比公式1和公式10可知，带静电的物体的惯性质量（公式10中的μ+Es/V2）比不带电的物体的惯性质量（公式1中的μ）要大：
“人们认识到，带静电的物体的惯性质量比不带电的物体的惯性质量要大，超过的量等于静电能除以光速的平方。因此这个能量的惯性质量定律（注：即质能方程）为我们所考察的特例中的结果所确认。”
本章未完 点击下一页继续阅读